2015/05/04

#6: Newtonsche Axiome

Heute ist der vierte Mai oder auf Englisch, May, the fourth. Weil dies aber so ähnlich klingt wie der Ausspruch may the force be with you aus den Star Wars Filmen (Video) wird heute von vielen Fans der Star Wars Tag begannen.

Dieser Post soll heute daher dem Begriff der Kraft (auf Englisch force) im Rahmen der newtonschen Gesetze auf den Grund gehen und diese vorstellen.


Sir Isaac Newton begründete im Jahr 1687 mit der Veröffentlichung seines Werkes Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (deutsche Übersetzung) die Grundlagen der klassischen Mechanik.

Darin formulierte er drei Axiome und das Superpositionsprinzip, die im folgenden näher erläutert werden. Um diese Prinzipien zu verstehen, soll zuerst der Begriff des Inertialsystems einführt werden.

Ein Inertialsystem ist ein unbeschleunigtes physikalisches Bezugssystem. Das bedeutet, ein in einem Inertialsystem ruhender Beobachter bewegt sich mit konstanter, also gleichförmiger Geschwindigkeit, ohne seine Richtung zu ändern. Zwei voneinander verschiedene Inertialsysteme bewegen sich relativ zu einander stets mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit.

Axiom 1: Lex prima / Trägheitsprinzip

In einem solchen Inertialsystem gilt:
Eine Masse behält seinen Bewegungszustand bei, solange keine Kraft darauf wirkt.
Unter einer Änderung des Bewegungszustandes wird eine Beschleunigung der Masse, also eine Änderung der Richtung oder des Betrags der Geschwindigkeit \(\vec{v}\), verstanden.
Dieses einfache erste newtonsche Gesetz wird auch Trägheitsprinzip genannt und geht auf Galilei zurück.

Axiom 2: Lex secunda / Aktionsprinzip

Im Umkehrschluss zum ersten Axiom folgt, dass, sobald eine Kraft auf einen Körper wirkt, dieser Körper beschleunigt wird. Richtig formuliert lautet das zweite newtonsche Gesetz:
Die Änderung des Bewegungszustandes einer Masse ist proportional zu der auf die Masse wirkenden Kraft. Die Richtung der Kraft gibt an, in welche Richtung die Bewegungsänderung geschieht.
Dieses Axiom klingt kompliziert, besagt aber nur, dass sich der Impuls des bewegenden Körpers durch eine Kraft verändert. Unter einem Impuls \(\vec{p}=m \vec{v}\) ist das Produkt aus Masse \(m\) des Körpers und dessen Geschwindigkeit \(\vec{v}\) zu verstehen.

Mathematisch bedeutet dies, dass eine Kraft \(\vec{F}\) eine zeitliche Veränderung des Impulses mit sich bringt: \(\vec{F}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\vec{p}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(m \vec{v})\).

Axiom 3: Lex tertia / Wechselwirkungsprinzip / Actio = Reactio

Für Laien ist das dritte newtonsche Gesetz - das Wechselwirkungsprinzip oder häufig auch Actio=Reactio-Prinzip - am schwersten zu verstehen:
Bei jeder Wechselwirkung zwischen zwei Körpern treten alle Kräfte paarweise auf. Die von der Masse \(m_\text{A}\) auf die Masse \(m_\text{B}\) ausgeübte Kraft ist gleich groß der von \(m_\text{B}\) auf \(m_\text{A}\) ausgeübten Kraft. Beide Kräfte sind stets einander entgegengesetzt.
Ein Beispiel um das dritte Axiom zu veranschaulichen ist der Apfel am Baum:
Der mit \(\text{A}\) bezeichnete Apfel am Baum wird von der mit \(\text{B}\) bezeichneten Erde mit der Kraft \(F_{\text{B}\to\text{A}}\) (actio) angezogen. Gleichermaßen zieht aber der Apfel die Erde mit der selben, aber entgegengesetzt gerichteten Kraft \(F_{\text{A}\to\text{B}}\) (reactio) an.

Prinzip der Wechselwirkung
[Credit: Svebert|CC0 via Wikimedia Commons]
Es lässt sich zeigen, dass aus dem zweiten und dritten Axiom der Impuls als eine Erhaltungsgröße folgt. Außerdem ist anzumerken, dass in diesem Modell die Kraft zwischen zwei Körpern instantan zwischen beliebig großen Distanzen wirkt. Diese sogenannte Fernwirkung ist mit der Relativitätstheorie nicht vereinbar.

(Axiom 4: Lex quarta) / Superpositionsprinzip

Das Prinzip der Superposition wird manchmal als viertes newtonsches Gesetz bezeichnet. Es beschreibt, wie mit mehr als einer wirkenden Kraft verfahren werden kann:
Wirken mehrere Kräfte gleichzeitig auf einen Punkt, so lassen sich diese Einzelkräfte in diesem Punkt zu einer resultierenden Kraft vektoriell addieren.
Auch hier soll ein Beispiel zur Erläuterung nicht fehlen:
Prinzip der Superposition.
[Credit: Stündle|CC0 via Wikimedia Commons]
Das Kräftegleichgewicht einer Laterne, die an einem zwischen zwei Häusern gespannten Seil befestigt ist, sei zu ermitteln.

Auf die Laterne wirkt die Erdanziehungskraft \(\vec{F}_\text{G}\). Gemäß Axiom 3 muss auf die Laterne eine Gegenkraft wirken, die den gleichen Betrag wie die Erdanziehungskraft hat, aber ihr entgegen wirkt. Diese Kraft sei als Haltekraft \(\vec{F}_\text{H}\) bezeichnet. Die Haltekraft selbst muss sich aus Kräften \(\vec{F}_\text{S1}\), \(\vec{F}_\text{S2}\)  zusammensetzen, die entlang des Seils gerichtet sind. Sie ist die resultierende Kraft, die sich aus der Summe der Seilkräfte \(\vec{F}_\text{H}=\vec{F}_\text{S1} + \vec{F}_\text{S2}\) ergibt.
Das Kräftegleichgewicht lautet also: \(-\vec{F}_\text{G} = \vec{F}_\text{H} = \vec{F}_\text{S1}+\vec{F}_\text{S2} \).

Wie dieses Beispiel zeigt, lassen sich viele komplizierte Probleme der Mechanik mit diesen einfachen Gesetzen beschreiben. So kann der Satz may the force be with you, wie er sich auf vielen Star Wars T-Shirts findet [amazon.de] vielleicht auch als eine Huldigung an Sir Isaac Newton verstanden werden.

^HÖ

Update Jun. 2, 2015:
Bild vom Star Wars T-Shirt wurde entfernt und durch einen Link ersetzt.

Keine Kommentare:

Kommentar veröffentlichen