2015/03/14

#2: Pi-Tag

"Die großen Leute haben eine Vorliebe für Zahlen. Wenn ihr ihnen von einem neuen Freund erzählt, befragen sie euch nie über das Wesentliche.
Sie fragen euch nie: Wie ist der Klang seiner Stimme? Welche Spiele liebt er am meisten? Sammelt er Schmetterlinge?
Sie fragen euch: Wie alt ist er? Wieviel Brüder hat er? Wieviel wiegt er? Wieviel verdient sein Vater? Dann erst glauben sie ihn zu kennen." - Antoine de Saint-Exupéry (Der kleine Prinz)
Ja, ich muss zugeben, ich habe eine Schwäche für Zahlen und ich gehöre zu den Menschen, die sich freuen, wenn sie auf ihre Armbanduhr schauen und feststellen "heute ist ein besonderer Tag". Unser gängiges Datumsformat ("Tag.Monat.Jahr") erschwert jedoch die Erkennung für die heutige Besonderheit. Stellt man das heutige Datum auf das Format "Monat.Tag.Jahr" um, wie es in den USA und Teilen von Kanadas üblich ist und lässt nur den ersten Punkt im Datum stehen, so wird der Zusammenhang deutlicher. Dann nämlich lässt sich das heutige Datum schreiben als 3.1415 und dies sind die ersten Ziffern der Zahl \(\pi\).

Ein "Pie" zum Pi-Tag. (Das englische Wort für Kuchen ist "Pie".)
[Credit:Endlessly777|CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons]
Das Jahr 2015 ist sogar so besonders, dass wir bei dieser Darstellung um 9 Uhr 26 Minuten und 53 Sekunden tatsächlich die Zahl \(\pi\) auf neun Stellen genau erhalten: 3.141592653.

Das ist für mich Grund genug, heute etwas über \(\pi\) zu schreiben.




Was ist \(\pi\)?

Der griechische Buchstabe \(\pi\) repräsentiert in der Mathematik das Verhältnis zwischen Umfang \(U\) und Durchmesser \(d\) jedes beliebigen Kreises \(\pi = \frac{U}{d}\).

Ein Kreis mit Radius \(r\), Durchmesser \(d\) und Mittelpunkt \(M\).
Der Umfang \(U\) ist die Länge des Kreisrandes.
[Credit:Sven|GFDL, CC-BY-SA-3.0, via Wikimedia Commons]
Nochmal: Dies gilt für alle Kreise!

Drückt man diese Beziehung mit dem Radius des Kreises \(r=d/2\) aus, so ergibt sich für den Umfang eines beliebigen Kreises \(U=2 \pi r\). Diesen Ausdruck für den Kreisumfang möchte ich mit der nachfolgenden Abbildung für den Einheitskreis, also einem Kreis mit Radius \(r=1\), veranschaulichen. Darin wird der Kreisumfang solch eines Einheitskreises vermessen, indem der Kreis an einer Messlatte entlang gerollt wird. Nach einer vollen Umdrehung hat der Kreis die Strecke von genau \(2\pi\) zurückgelegt.
Der Umfang des Einheitskreises ist \(2\pi\). (Bild vergrößern.)

Eigenschaften von \(\pi\)

Zahlenstrahl der Menge der reellen Zahlen
[Credit: 
Phrood|Public domain, via Wikimedia Commons]
\(\pi\) ist eine transzendente Zahl aus der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\). Das bedeutet, dass sich \(\pi\) nicht durch einen Bruch, also einem Verhältnis aus zwei ganzen Zahlen darstellen lässt. Mehr noch \(\pi\) hat unendlich viele Nachkommastellen, ohne dass sich deren Abfolge regelmäßig wiederholt, also eine Periode vorliegt. Hier können Sie sich die ersten 10.000 Nachkommastellen von \(\pi\) ansehen.

Bestimmung von \(\pi\)

Es gibt eine Reihe von verschiedenen Methoden um \(\pi\) zu bestimmen. Eine sehr anschauliche
Methode geht auf Archimedes von Syrakus zurück.

Archimedes verstand den Zusammenhang zwischen dem Umfang eines Kreises und dessen Fläche \(A_\text{Kreis}=\pi r^2\): Wird ein Kreis in viele regelmäßige Kreissegmente zerlegt und werden dann, diese Kreissegmente anders angeordnet, so ergibt sich beinahe ein Rechteck. Je kleiner die Kreissegmente werden, desto besser wird das Rechteck durch die Kreissegmente angenähert. Die Fläche dieses Rechtecks ist also identisch mit der des Kreises \(\pi r\times r=\pi r^2=A_\text{Kreis}\).

Wird ein Kreis in viele regelmäßige Kreissegmente zerlegt (links) und
werden dann diese Kreissegmente anders angeordnet (rechts), so ergibt
sich beinahe ein Rechteck.
[Credit:Sven|GFDL, CC-BY-SA-3.0, via Wikimedia Commons]
Bei seiner Methode zur Abschätzung von \(\pi\) versuchte Archimedes den Kreis mit regelmäßigen Vielecken zu beschreiben, die jeweils paarweise den Kreis von Innen ausfüllten und von Außen umschlossen. Archimedes erkannte, dass mit zunehmender Anzahl der Ecken der regelmäßigen Vielecke, sich deren Fläche der des Kreises annähert. Die Fläche des Kreises ist dabei stets größer als die Fläche des inneren Vielecks, aber kleiner als die des äußeren Vielecks. Der tatsächliche Wert der Kreisfläche liegt also zwischen den Flächen der Vielecke.
Methode von Archimedes zur Bestimmung von \(\pi\)
[Credit:Leszek Krupinski|GFDL, CC-BY-SA-3.0,
CC BY-SA 2.5-2.0-1.0, via Wikimedia Commons]
Archimedes konnte die Fläche des regelmäßigen Vielecks bis zum 96-Eck bestimmen und gelangte so zu seiner Abschätzung von \(3{,}1408 \approx 3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}\approx 3{,}1428\).

Archimedes gelang auf diese Weise eine Abschätzung auf zwei Stellen genau!

Übrigens lässt sich folgende Ungleichung zur Bestimmung von \(\pi\) finden, wenn das erläuterte Verfahren auf regelmäßige \(n\)-Ecke verallgemeinert wird:
\[ \frac{1}{2}n \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) < \pi < n \tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \]

^HÖ

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